リヤプノフ関数

線型微分方程式の定係数の場合は今までの議論でほぼ問題ありませんが、これでは 非線型の問題に関して上手いアプローチが取れません。そこで、非線型の場合 にも通じるリヤプノフの考えというものを導入しましょう。

行列の二次形式¹⁶ ${}^t\bm{x}A\bm{x}$が正定値 ¹⁷の時、楕円面を 作ります。関数

$$V(t) = {}^t\bm{x}(t)A\bm{x}(t)$$ (3.77)

を考え、それを時間微分すると、微分方程式の解が乗った楕円面が膨らんでいる のかしぼんでいるのかが分かります。つまり、その楕円面に乗った微分方程式の解 $\bm{x}(t)$が原点に近づいているのかどうかを判断することが出来ます。

実際に微分してみると、

$$\frac{dV(t)}{dt} = \frac{d{}^t\bm{x}(t)}{dt}A\bm{x}(t) + {}^t\bm{x}(t) A \frac{d\bm{x}(t)}{dt}$$ (3.78)

$$= {}^t(M \bm{x}(t))A\bm{x}(t) + {}^t\bm{x}(t) A M\bm{x}(t)$$ (3.79)

$$= {}^t\bm{x}(t)({}^t M A + A M )\bm{x}(t)$$ (3.80)

これがあらゆる$\bm{x}(t)$において正の値を取らなければ、楕円面は 「しぼんでいる」のだから、原点は安定です。つまり、 ${}^t M A + A M$ が半負定値¹⁸ならば安定、負定値¹⁹ならば漸近安定です。

この方法で安定性を調べるには上手い行列$A$を見つけなければいけない。 それに関する定理があります。

定理 3.1   $M$の固有値の実数部分$\mu_i$が全て負であれば、 ${}^t\bm{x}A\bm{x}$が 正定値を、 ${}^t M A + A M$を負定値を取るように出来る。そして、

$$A = \int_{0}^{\infty}{}^t(e^{M\tau})(e^{M\tau})d\tau$$ (3.81)

はそれを満たす。

証明 3.1   $M$の固有値の実数部分$\mu_i$が全て負であるという仮定から、 式3.13の右辺が収束することは分かります。

$${}^t\bm{x}A\bm{x} = \int_{0}^{\infty} {}^t\bm{x} {}^t(e^{M\tau}) ... ...u}) \bm{x} d\tau = \int_{0}^{\infty} \vert(e^{M\tau}) \bm{x}\vert^2 d\tau \ge 0$$ (3.82)

から、 ${}^t\bm{x}A\bm{x}$が正定値を持つことが分かりました。等号成立は $\bm{x} = 0$の場合に限ります。

$${}^t M A + A M = \int_{0}^{\infty}{}^t \left[{}^t M(e^{M\tau})(e^{M\tau}) + (e^{M\tau})(e^{M\tau}) M \right]d\tau$$

$$= \int_{0}^{\infty} \left[ {}^t \left(\frac{d e^{M\tau}}{d\tau} \... ...tau}) + {}^t (e^{M\tau}) \left(\frac{d e^{M\tau}}{d\tau} \right) M \right]d\tau$$

$$= \int_{0}^{\infty} \frac{d}{d\tau} \left[{}^t(e^{M\tau})(e^{M\tau}) \right] d\tau$$

$$= [{}^t(e^{M\tau})(e^{M\tau})]_0^{\infty}$$

$$= -I$$ (3.83)

よって、負定値行列です。

ここで考えた関数$V(t)$をこの線型微分方程式のリヤプノフ関数と言います。