リヤプノフ関数

まずはリヤプノフ関数の正確な定義からしたいところですが、 その前に、大切な近傍という概念を導入します。

定義 4.1   $n$次元空間$\bm{R}^n$の部分集合$U$が、$\bm{x}_0$を中心とするある半径 $\epsilon \ (>0)$の球

$$B_{\epsilon}(\bm{x}_0) = \{ \bm{x} \in \bm{R}^n ; \vert\bm{x} - \bm{x}_0\vert < \epsilon \}$$ (4.84)

を含む、つまり $B_{\epsilon}(\bm{x}_0) \subset U$である時、 $U$は$\bm{x}_0$の近傍であるという。

この定義において「ある半径」となっているのは、$\epsilon$を頑張って小さ くとって $B_{\epsilon}(\bm{x}_0) \subset U$と出来るなら$U$は近傍 だと認められる、という意味です。

ここでは$n$次元空間$\bm{R}^n$と一般的な距離 $\vert\bm{x} - \bm{x}_0\vert$ を使って定義しましたが、一般的には位相空間$X$と距離 $d(\bm{x},\bm{x}_0)$ によって定義するのが普通です。

さて、それではリヤプノフ関数の正確な定義をしましょう。

定義 4.2   $R^n$上の微分方程式 $d\bm{x}/dt = \bm{f}(\bm{x})$が平衡点$\bm{p}$ を持つとする。 $V(\bm{x})$が、

1. 平衡点$\bm{p}$の近傍で$\bm{x}$により一階微分可能（$C^1$級）。
2. $$V(\bm{x})>V(\bm{p})=0$$ かつ $$\dot V(\bm{x}(t)) = \frac{\partial V}{\partial \bm{x}} \cdot \bm{f}(\bm{x}) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(\bm{x}) \le 0$$

という条件を満たす時、関数$V(\bm{x})$はリヤプノフ関数であるという。

$V(\bm{p})=0$は成り立つ必要はありませんが、ここでは簡単のためにそうし ました。

リヤプノフ関数を使った、解の安定性について次の定理が成り立ちます。

定理 4.1   平衡点$\bm{p}$のについて。

1. $V(\bm{x})$はリヤプノフ関数であるなら平衡点$\bm{p}$は安定。
2. $V(\bm{x})$がリヤプノフ関数になるための条件の二つ目が、 $$\dot V(\bm{x}(t)) < 0 \ \ \ (\bm{x} \neq \bm{p})$$ と出来るなら、$\bm{p}$は漸近安定。
3. $$\dot V(\bm{x}(t)) > 0 \ \ \ (\bm{x} \neq \bm{p})$$ ならば、平衡点$\bm{p}$は不安定。
   （$V$はリヤプノフ関数ではない）

安定、不安定の条件を満たすことを言えば良い。

証明 4.1  

$\dot V \le 0$であるので、解曲線は $V(\bm{x})=c,\ ({}^{\forall}c>0)$ という閉曲線を外から内に向かって通ります。平衡点近傍の全ての$\bm{x}$について これが成り立っているのだから、これは安定性の条件を満たす。

また、 $\dot V < 0$ならば、$V$は単調減少で下に有界だから極限が存在します。

$$\lim_{t \to \infty} V(\bm{x}(t)) = a$$ (4.85)

もし$a \neq 0$なら、$\bm{x}(t)$は $t \to \infty$において $V(\bm{x}(t))=0$ 上にあることになります。その時、 $\dot V \to 0$となります。しかし、 これは $\dot V < 0,\ \bm{x} \neq 0$に矛盾。つまり、$a = 0$となります。

これで漸近的安定の条件を満たすことの証明が出来ました。

どんな点$\bm{p}$の近傍をとっても $V(\bm{x_0})>0,\ \bm{x_0} \neq 0$がある ので、これを出発とする解は$\dot V >0$なので、0には近づけません。

これは不安定な平衡点であることの条件を満たしています。

この、不安定であるための条件は強すぎで、もう少し弱めた条件でも 不安定な平衡点が見つかります。それは次の チェタエフの定理（Chetaev's Theorem）によって示されます。

定理 4.2   チェタエフの定理（Chetaev's Theorem）
$\Omega$を$\bm{p}$の近傍とする。次の性質を満たす領域$\Omega_1$と $x$で一回微分可能（$C^1$級）な関数$V$が見つかると、$\bm{p}$は不安定である。

1. $\partial \Omega_1 \cap \Omega$において $V(\bm{x})=0$ （ただし、 $\partial \Omega_1$は$\Omega_1$の境界である。）
2. $\partial \Omega_1 \ni \bm{p}$
3. $V(\bm{x}) > 0,\ \ \dot V(\bm{x}) > 0, \ \ \ (x \ni \Omega_1)$
   （$V$はリヤプノフ関数ではない）

証明 4.2  

安定性の定義が、満たされないことを言えば良いのです。

$B_{\epsilon}(\bm{x})$を考えます。二つ目と三つ目の仮定から、 ${}^{\forall}\bm{x_0} \in \Omega_1 \cap B_{\epsilon}(\bm{x})$ において、 $V(\bm{x}_0)>0$となります。

この領域では $\dot V(\bm{x})>0$であるから、解 $\bm{x(t \ ; \ \bm{x}_0,t_0)}$ は ${}^{\forall}t$にわたって（この先ずっと）、この領域に留まることは 出来ず、有限時間後にはこの領域から逃げ出してしまいます。

また $\partial \Omega_1 \cap B_{\epsilon}(\bm{x})$において $V(\bm{x})=0$ であるので、解は $\partial \Omega$の部分を通って逃げることは出来ません。 $V(\bm{x}_0)>0,\ \dot V(\bm{x})>0$なので$V$は決して0にはなれないからです。 つまり、解は $\partial B_{\epsilon}(\bm{x})$を通ってこの領域の外へ出ます。

以上より、安定性の定義が満たされないことが証明できました。

これで証明はOKですが、この定理に私は最初、次の二つの疑問を持ちました。

1. 解は $\partial B_{\epsilon}(\bm{x})$を通ってこの領域 $\Omega_1 \cap B_{\epsilon}(\bm{x})$の外に出る、とあるが $B_{\epsilon}(\bm{x})$の中で、$V$が無限大に発散する可能性はないの だろうか？
   $\dot V >0$なので、$V$が無限大に発散するのは自明だけれど、 $\bm{R}^n$のどの場所において発散するかは分からないのではないか？
2. $\partial \Omega_1 \cap \Omega$において $V(\bm{x})=0$とあるが、 $\partial \Omega_1 \cap \overline{\Omega}$において $V(\bm{x})=0$ が言えないなら、そこから解が逃げ出し、また平衡点へ舞い戻る事も 起こり得るのではないだろうか？
   （ $\overline{\Omega}$は$\Omega$の補集合。）

一つ目の疑問は、安定性の定義を考えれば直ぐに解決できます。

安定性の定義は、「 ${}^{\forall}\epsilon$に対し〜」でした。つまり、 ある$\epsilon$において $B_{\epsilon}(\bm{x})$の中で、$V$が無限大に発散 しても、十分小さい$\epsilon$を取れば（$\epsilon$はいくらでも小さく取れ る！）、 $B_{\epsilon}(\bm{x})$の外で$V$が無限大に発散するように出来るの です。そのような$\epsilon$について成り立たないなら、当然 ${}^{\forall}\epsilon$に対し成り立つはずはなく、よって安定性の定義を満た さないのです。

二つ目の疑問は、$V$が一回微分可能、つまり連続関数であることが分かれば 解決できます。

$V$は連続関数であるので、曲線 $V(\bm{x})=0$には「切れ目」がありません。 領域$\Omega_1$の外に出なければ$\dot V < 0$には成り得ないのですから、解が 平衡点へ舞い戻る可能性はありません。