Fokker–Planck equation¶

Fokker–Planck equation は粒子の運動を確率密度 $P(x,t)$ の時間変化で記述する式．

Warning

確率密度 $P(x,t)$ は，通常の確率密度の表記と違い，規格化の条件は $\int_{-\infty}^{\infty} P(x,t) dx =1$ である．言い換えると，すべての時間で粒子は必ず存在する．通常の確率密度の表記では $\int P(x,y) dxdy =1$ なので，誤解があるかもしれない．というか授業中にひっかかった部分．

Fokker–Planck equation の導出¶

Chapman–Kolmogorov equation¶

確率 $P(x,t|x_0) \Delta x$ を，「 $x_0$ にあった粒子が時間 $t$ 経った後に $[x,x+\Delta x]$ に存在する確率」とする．
確率 $P(x,t|x_0)$ は $t<0$ の状態と独立 (Markov 過程)．

この条件下で以下の二式が成り立つ．

$P(x,0|x_0) &= \delta (x-x_0) \\ P(x,t+\Delta t|x_0) &= \int_{-\infty}^{\infty} P(x',t|x_0) P(x,\Delta t|x') dx'$

最後の式を Chapman–Kolmogorov equation と言う．

参考:

Kramers-Moyal expansion¶

Chapman–Kolmogorov equation において積分変数を $x'$ から $\Delta x=x-x'$ へ変換し， $x'=x-\Delta x$ を代入した

$P(x,t+\Delta t|x_0) &= \int_{-\infty}^{\infty} P(x-\Delta x, t|x_0) P(x,\Delta t|x-\Delta x) d(\Delta x)$

の左辺を $\Delta t$ で，右辺を $\Delta x$ で展開する [1] ．

$\mathrm{l.h.s} &= P(x,t|x_0) + \frac{\partial P}{\partial t} \Delta t$

$\mathrm{r.h.s} &= \int_{-\infty}^{\infty} P(x-\Delta x, t|x_0) P(x+\Delta x-\Delta x,\Delta t|x-\Delta x) d(\Delta x) \\ % &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\Delta x)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n} \left\{ P(x, t|x_0) P(x+\Delta x,\Delta t|x) \right\} d(\Delta x) \\ % &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n} \left\{ P(x, t|x_0) \int_{-\infty}^{\infty} P(x+\Delta x,\Delta t|x) (\Delta x)^n d(\Delta x) \right\} \\ % &= P(x, t|x_0) \int_{-\infty}^{\infty} P(x+\Delta x,\Delta t|x) d(\Delta x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n} \left\{ P(x, t|x_0) \int_{-\infty}^{\infty} P(x+\Delta x,\Delta t|x) (\Delta x)^n d(\Delta x) \right\} \\ % &= P(x, t|x_0) + \Delta t \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n} \{ \alpha_n P(x, t|x_0) \}$

ここで，

$\alpha_n = \frac{1}{\Delta t} \langle \Delta x^n \rangle = \frac{1}{\Delta t} \int_{-\infty}^{\infty} P(x+\Delta x,\Delta t|x) (\Delta x)^n d(\Delta x)$

とおいた．

以上から，最初の式は両辺を $\Delta t$ で割って，以下のように変形できる．

$\frac{\partial P}{\partial t} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n} \{ \alpha_n P \}$

これを Kramers-Moyal expansion と言う．

Footnotes

[1]	$\Delta x$ の積分範囲が $(-\infty,\infty)$ なので， $\Delta x$ は微小量ではない．微小量でなくてもテイラー展開は成立するので問題ない．

Brown 運動をする場合¶

Brown 運動(Langevin equation で記述可能な現象)では，以下の関係が成り立つ．

$\langle (\Delta x)^1 \rangle \sim \Delta t$
$\langle (\Delta x)^2 \rangle \sim \Delta t$
- 証明できるらしい．

Note

証明どうやるんだろう．

よって，以下の Fokker–Planck equation を得る．

$\frac{\partial P}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} (\alpha_1 P) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} (\alpha_2 P)$

Fokker–Planck equation¶

Fokker–Planck equation の導出¶

Chapman–Kolmogorov equation¶

Kramers-Moyal expansion¶

Brown 運動をする場合¶

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